Как не ошибиться в подсчете математического ожидания

Наша статья о математическом ожидании, скорее всего, показалась Вам непростой в понимании, по причине того, что она насыщена большим количеством математических подсчётов. Если Вы, конечно, читали её.
В данной статье, в основном, будет представлена более обобщённая, прагматичная и реалистичная информация об использовании математического ожидания. В большей мере, это будет касаться Техасского Холдема. В целом, эта статья должна стать более легкой в понимании. Советуем Вам прочитать первую нашу статью, чтобы Вы имели хотя бы общее представление о таком понятии, как «математическое ожидание для руки и для пота». Прочитав её, Вам будет гораздо легче понять эту статью, её идеи и понятия.
Автор не скрывает, что и данная статья, в итоге, получилась насыщенной математическими подсчетами. Но основная функция данной статьи заключается в том, чтобы Вы смогли сделать из неё правильные выводы, а если, к тому же, Вам удастся разобраться в математических расчетах, это будет просто великолепно! Так или иначе, но статья обязательно пойдёт Вам на пользу.

Ошибки, наиболее часто встречающиеся во время подсчёта математического ожидания.
В большинстве пособий по покеру указывается, что математическое ожидание, для того, чтобы составить флеш или стрит, должно быть равно 2:1. И если Вы любитель почитать такого рода учебники, то, наверняка, не раз сталкивались с подобным утверждением. Однако, не удивляйтесь заявлению автора, который считает, что это утверждение может оказаться огромным заблуждением и его им не стоит пользоваться, не раздумывая. Ниже приведён список наиболее часто встречающихся ошибок во время подсчёта математического ожидания:
    1) Вместо математического подсчёта по отдельности для каждой из карт, игроки совершают подсчёт одновременно для двух карт.
    2) Ошибки при подсчёте аутов заключаются в том, что игроки, зачастую, не учитывают ложные ауты, либо подсчитывают не все имеющиеся ауты.
    3) Бывает, что игроки не учитывают предполагаемой стоимости. Другими словами, они не учитывают фишки, которые соперники введут в пот уже после составления Вашей руки.

Далее мы попытаемся рассказать, каким образом эти ошибки исправлять, почему подобные ошибки так часто допускают игроки в покер, и просто детальнее во всём этом разберёмся.

Подсчет математического ожидания для всей раздачи сразу.
По мнению автора, всё дело в том, что большинство игроков в покер совершают подобную ошибку, потому что в пособиях (учебниках) по покеру в табличках с математическим ожиданием, зачастую, сначала указывается математическое ожидание для составления руки именно на ривере, а только потом уже для составления руки на терне. Если подумать и разобраться, то несложно понять, что если Вы не являетесь игроком безлимитных турниров и не играете в сумасшедшую круговую игру No-limit, то рассчитывать математическое ожидание Вашей руки для двух карт сразу, Вам придётся крайне редко. В основном, перед Вами будет стоять задача подсчёта математического ожидания для текущей Вашей руки до следующей карты. А дальнейшие расчеты не имеют абсолютно никакого смысла. Автор настоятельно рекомендует «забыть» о математическом ожидании для составления Ваших рук на ривере и очень хорошо запомнить чему равно математическое ожидание по отдельности для каждой из карт.

Например, часто приходится наблюдать картину, когда какой-либо игрок хочет составить двусторонний стрит-дро, убеждённый при этом, что его математическое ожидание для пота равно 2:1. Это не так. При подсчёте математического ожидания для каждой карты по отдельности, шансы на то, чтобы составить двусторонний стрит-дро равняются 4,7:1. А это далеко не 2:1. И даже не 4:1, отличие, от которого практически на целый бет и величиной с большой блайнд.

Ошибки, допускаемые во время подсчёта аутов.
Очень важно уметь подсчитывать ауты, но, к сожалению, отношение к данному навыку незаслуженно поверхностное и легкомысленное. При каждой попытке составления дро, Вы обязаны знать точное количество Ваших истинных аутов. Истинными аутами называются карты, улучшающие Вашу руку, но при этом, не усиливающие руки Ваших соперников. Ложным называется тот аут, который может Вам помешать. Ваш навык «чтения» соперников и их рук, является основным фактором при определении Ваших истинных аутов, ведь часто бывает так, что Ваши истинные ауты не столь очевидны, потому что Вам не всегда известно, будет ли тот или какой-либо иной аут ложным.

Зачастую, игроки предпринимают попытку составления стрита, когда над столом витает возможность флеш-дро. Это происходит по той причине, что они не учитывают один момент. Дело в том, что два из аутов для стрита очень сильно помогают кому-либо из оппонентов в процессе составления флеша. Рассмотрим теперь другой пример. Некий игрок с карманными А-К и тузом на борде, получает рейз от соперника, который находится в позиции большого блайнда, и, вероятно, имеет две пары. Игрок с карманными А-К понимает, что для победы в этой раздаче ему нужен ещё один король или туз (получается, что у него пять аутов). В то время как, на самом деле, у него на три аута больше (карты, с которыми на игровом столе образуется пара, а у соперника не составится фулл хаус). Другими словами, у него восемь аутов. Очередная часто встречаемая ошибка заключается в том, что игрок не осознаёт следующего факта. Туз – это ложный аут, в случае, если Вы составили среднюю пару, скажем, на флопе, а Ваше математическое ожидание для пота даёт возможность предпринять попытку составления двух пар. У Вас составится лучшая рука при тузе на борде, но в случае, если у кого-либо из соперников имеется топовая пара, то у него тоже составляются две пары. И тут туз для Вас становится абсолютно бесполезным. Такие ситуации, конечно, нечасто происходят, но забывать о них не стоит. 

Когда не учитывают предполагаемую стоимость.
Многие из игроков допускают серьёзную ошибку, забывая о предполагаемой стоимости. Они сбрасывают руки, которые ещё могли бы, как минимум, не проиграть, а, возможно, и выиграть. Теперь дадим определение  понятию предполагаемой стоимости.
Предполагаемая стоимость – это дополнительная ставка, попадающая в пот, в том случае, если соперник коллирует Вас, либо делает бет на ривере уже после составления Вашей руки. В стареньких тайтовых пособиях уверяют, что Ваш соперник не сделает дополнительный бет на ривере, но, практически всегда, данное утверждение не является верным, потому что, исходя из предполагаемой стоимости, оппонент, скорее всего, объявит дополнительный бет на ривере.

Зачастую, игроки в онлайн покер достаточно охотно делают ставки на ривере, если, конечно, до него доходят. Поэтому, почти со стопроцентной уверенностью можно предположить, что Вас «наградят» дополнительным бетом на ривере. Практически это значит, что во время подсчёта математического ожидания Вашей руки, его следует снижать на один. Цепляя тему лимитного покера, можем сказать, что от флопа до терна математическое ожидание можно сразу снижать на два. Потому что, рассматривая бет на терне, относительно ставки на флопе, предполагаемое математическое ожидание удваивается.

Пример №1.
Представим, что в игре на лимитах 3/6 долларов и, находясь в положении большого блайнда, Вы имеете разномастные Т-7. В пот вводятся два лимпера, и игрок, находящийся в позиции малого блайнда, сбрасывает карты (пот составляет 10 долларов). Вы объявляете чек. На флопе появляются Т-8-6 разной масти (rainbow). Вы опять объявляете чек, а кто-то из лимперов делает ставку. Двое оставшихся игроков сбрасываю карты, а Вам теперь нужно принимать решение. В поте теперь 13 долларов, а стоимость колла – 3 доллара. Другими словами, Ваше математическое ожидание для пота равняется 4,3:1. Для составления данной руки у Вас 7 аутов (4 аута для составления «дырявого» стрита и 3 аута для составления двух пар, при этом мы предполагаем, что у соперника топовая пара, оверпара или лучший кикер).  При таком раскладе (7 аутов), Ваше математическое ожидание для руки составляет 5,6:1. Сравнивая его с математическим ожиданием для пота (4,3:1), согласно традиционной методике подсчёта математического ожидания, Вы должны сбросить карты. Но, если Вы будете учитывать предполагаемую стоимость, а также то, что на терне она удвоится, выйдет так, что математическое ожидание для Вашей руки будет равняться 3,6:1. Для наглядного примера, давайте переведём всё в цифры. Так будет легче во всём этом разобраться.

    Пот: 13 долларов (10 долларов на префлопе + ставка на флопе в размере 3 долларов)

    Цена колла: 3 доллара

    Математическое ожидание для руки: 5,6:1, что составляет 15%

Размер ставки на терне: 22 доллара (10 долларов на префлопе + ставка на флопе 3 доллара + колл на флопе 3 доллара и + бет на терне 6 долларов)

Теперь взглянём на итоги розыгрыша ста таких раздач:

Общая цена = из 100 раздач 85 проигрышей = 85 * 3 доллара = 255 долларов.

Общий выигрыш = из 100 раздач 15 выигрышей = 15 * 22 доллара = 330 долларов.

Предполагаемый средний выигрыш = (330 долларов – 255 долларов) / 100 = 0.75 доллара для одной руки = 0.1 большого блайнда для одной руки.

Средний выигрыш за час = (количество рук за час) * (предполагаемый средний выигрыш) = (45 рук за час) * (0.1 большого блайнда для одной руки) = 4,5 больших блайндов за час.

Если Вы были внимательны, то, скорее всего, заметили, что для этой руки предполагаемая стоимость выше, в связи с тем, что в случае составления Ваше руки, наверное, Вы примите решение объявить рейз на терне и на ривере сделаете ставку. Другими словами, в пот добавится еще, минимум, один большой блайнд. А, вероятно, и два. Мы откинем этот факт для чистоты данной теории, но, объективности ради скажем, что Вы будете способны добавить целый большой блайнд к предполагаемой стоимости, имея такую руку.

Очень важное примечание.
Во время изучения данного раздела статьи читатели видят математическое ожидание и, наверное, большинство из них посещают мысли, относительно того, что это дро оправдано, взяв во внимание предполагаемую стоимость. Но размер выигрыша при этом невелик – 1/10 от большого блайнда. В связи с этим, они могут предположить, что нет никакой необходимости так внимательно  относиться к предполагаемому математическому ожиданию, при подсчёте шансов Ваших рук. Будьте уверены, что подобный способ мышления вмиг исчерпает весь Ваш банкролл.  

Наверное, можно и не упоминать, что неправильно разыграв подобную руку, Вы будете проигрывать 4,5 больших блайндов за час. Однако, постоянно разыгрывая такие руки неверно, Вы потеряете очень много на продолжительной дистанции. Исходя из этого, мы видим, что хорошее понимание математического ожидания крайне важно для побед в покере. Особенно это касается игр с низкими лимитами. Если Вы начнёте видеть выгодные для себя ситуации и знать, когда именно лучше всего разыгрывать средненькие по силе (пограничные) руки, то достаточно быстро перестанете быть слабым игроком в покер.

Пример №2.
Представим, что в игре на лимитах 3/6 долларов и, находясь в средней позиции, Вы имеете разномастные А-К. Лимпер, который находится в ранней позиции, коллирует, а Вы объявляете рейз до 6 долларов. Все соперники, кроме оппонента, находящегося в позиции большого блайнда, принимают решение сбросить карты. Находящийся в позиции большого блайнда, противник делает то же, что и лампер, который делал ход первым – коллирует. На флоп пришёл мусор, а в поте находится 18 долларов. Соперник, находящийся в позиции большого блайнда, делает бет, а лимпер, который находится в ранней позиции – сбрасывает карты. В конце концов, Ваше математическое ожидание становится равно 21:3 или 7:1. Вы можете предполагать, что у соперника, находящегося в позиции большого блайнда, могла составится пара. А у Вас, вероятно, шесть аутов для того, чтобы составить лучшую пару. Если считать каждую карту по отдельности, то вероятность прихода короля или туза равна 6,7:1.

Поначалу может показаться, что данную руку выгодно разыгрывать, ведь математическое ожидание Ваше для пота лучше, чем для руки, но Вы не должны оставлять без внимания тот факт, что у соперника, вероятно, вполне может оказаться что-то лучше одной пары. Или король, например. А, возможно, туз. И тогда Ваши ауты будут ложными. В такой ситуации, теоретически, Вы, как бы, ничего не проиграете, но на практике, в подавляющей части случаев, у соперника оказывается пара. Математическое ожидание для Вашей руки, благодаря предполагаемой стоимости, будет равняться 8,7:1. А это исключает угрозу ложных аутов.

Продвинутое использование математического ожидания.
Но это ещё не всё, что Вам нужно знать. Среднему по силе игроку этого будет достаточно, чтобы принять решение разыгрывать данную руку, ведь, на самом деле, для его руки математическое ожидание равняется 8,7:1. Но давайте разберёмся, что же произойдёт в терне. Предположим, что Вы сделали колл бета на флопе, но на терне соперник принял решение объявить бет, не смотря на то, что пришёл мусор. На данный момент в поте находится 30 долларов, а математическое ожидание для Вашей руки составляет 5:1. Данная раздача окончена для Вас. Всё дело в том, что даже учитывая предполагаемую стоимость на терне, Вы не имеете возможности далее разыгрывать руку и Вам ничего не остаётся в этот момент, кроме сброса карт. Если Вы, конечно, не собрались вытеснять соперника из пота с помощью блефа.

Хотя, давайте попробуем рассмотреть тактику нападения с помощью предполагаемой стоимости. Наступил ваш черёд сделать ход на флопе. Вы объявляете рейз вместо колла. Благодаря этому, Ваше математическое ожидание для пота подпрыгнет до 36:6 (6:1). Практически, с учётом предполагаемой стоимости, оно равняется 7:1.

    Пот: 30 долларов (21 доллар на флопе + рейз 6 долларов + колл в размере 3 долларов)

    Цена рейза: 6 долларов

    Математическое ожидание для руки: 6,7:1, что составляет 13%

    Общая цена до терна = из 100 раздач 87 проигрышей = 87 * 6 долларов = 522 доллара

Общий выигрыш = из 100 раздач 13 выигрышей = 13 * 36 долларов (30 долларов в поте + предполагаемый бет на терне в размере 6 долларов) = 468 долларов

Прибыль: -55 долларов

Всё это лишь подсчёты на листке бумаги. Правда, один момент мы не учли, но и с ним мы, скажу заранее, легко справимся. Что произойдёт в ситуации, когда соперник, находящийся на позиции большого блайнда, объявит рерайз на флопе? Вы просто сбрасываете руку, так как у него, вероятнее всего, получилось составить что-то лучшее, чем топовая пара. Либо у него на руках имеется туз, который превращает все Ваши ауты в ложные и, следовательно, делает Ваш дро крайне невыгодным.

Теперь предлагаю немного покопаться в теме блефа на основании предполагаемой стоимости (тем более, мы не учли это в наших расчётах) и поговорить о факторе «бесплатной карты». Можно ожидать, что при рейзе в данной раздаче соперник сбросит карты в 5-15% случаев. Возьмём, например, нижнюю границу для наших расчетов. Мы получаем то, что Ваш оппонент сбросит карты в 5 случаях из 100, а это означает, что Ваш выигрыш вырастет на 105 долларов (21 доллар пот на флопе * 5 блефов, которые удались). Это кардинально меняет игру, превращая её в выгодную из невыгодной. Продолжим…

Ещё, учитывая свои интересы, можно пользоваться фактором «бесплатной карты». Мы имеем смелость предполагать, что в случае, если Ваш соперник делает колл, то он, возможно, в 30-70% случаев захочет объявить Вам чек. Таким образом, Вы сможете бесплатно увидеть следующую карту. Как и в предыдущий раз, мы воспользуемся нижней границей для наших расчётов и посчитаем, во сколько всё-таки обойдётся нам розыгрыш данной руки, в случае, если на терне ничего не появится.

    Шансы на терне: из 100 раздач 87

    Ставка соперника на терне: от 87 раздач 70% = 61 раздача

    Чек соперника на терне: от 87 раздач 30% = 26 раздач

Если противник объявляет бет:

    Пот: 36 долларов (30 долларов в поте + 6 долларов бет)

    Цена колла: 6 долларов

    Математическое ожидание для руки: 6,7:1, что составляет 13%

    Общее число раздач, которые были проиграны: 61 раздача * 87% = 53 раздачи

    Общее число раздач, которые были выиграны: 61 раздача * 87% = 8 раздач

    Общая цена: 6 долларов * 53 проигрыша = 318 долларов

Общий выигрыш: 42 доллара * 8 выигрышей (36 долларов в поте + 6 долларов предполагаемый  колл/бет) = 336 долларов

    В случае ставки соперника на терне, чистый выигрыш будет составлять 18 долларов
   
Если соперник решил объявить чек:

    Пот: 30 долларов

    Цена колла: 0 долларов

    Математическое ожидание для руки: 6,7:1, что составляет 13%

    Общее число раздач, которые были проиграны: 26 раздач * 87% = 23 раздачи

    Общее число раздач, которые были выиграны:  26 раздач * 87% = 3 раздачи

    Общая цена: 0 долларов

    Общий выигрыш: 30 долларов * 3 выигрыша = 90 долларов

    В случае чека соперника на терне, чистый выигрыш будет составлять 90 долларов   

Поводим итоги:

    Чистый выигрыш от терна до ривера составляет 118 долларов

    Совмещаем общую статистику всей встречи со статистикой для терна:

    Общая цена до терна: из 100 раздач 87 проигрышей = 6 долларов * 87 = 522 доллара

    Общая прибыль после терна составляет 118 долларов

Общая прибыль: из 100 раздач 13 выигрышей = 36 долларов (30 долларов находится в поте + 6 долларов предполагаемая ставка на терне) * 13 = 468 долларов

    Общая прибыль от блефа на основании предполагаемой стоимости: (от 100 раздач 5%) * 21 доллар в поте на флопе = 105 долларов

Чистый выигрыш: -522 доллара + 118 долларов + 468 долларов + 105 долларов = 169 долларов

Предполагаемый выигрыш (в среднем) = (169 долларов / 100 раздач) = 1.69 доллара для одной руки составляет приблизительно 0.3 большого блайнда для одной руки
Выигрыш в час (в среднем) = 13,5 больших блайндов / час.

Не забывайте, в проведённых выше расчётах мы делали предположение, что соперник сбросит карты в ответ на Ваш блеф лишь в 5% случаев и даст Вам возможность бесплатно увидеть карту только в 30% случаев. Тактика агрессивного нападения особенно эффективна и выгодна с финансовой точки зрения в игре против оппонентов, которые чаще остальных будут принимать решение объявить чек и фолд. Не сложно заметить, что даже при подобных цифрах Вы остаётесь в выигрыше, а это, как нельзя лучше, доказывает то, что предполагаемая стоимость и блеф, используемый на её основании, иногда должны быть использованы в ходе игры.

Заключение.
Подводя итоги данной статьи о правильном подсчёте математического ожидания, попытайтесь вспомнить каким образом Вы, обычно, производите розыгрыш А-К в том случае, когда на флопе ничего толкового Вам не попадает, а соперник, находящийся в позиции большого блайнда, принимает решение объявить бет. Подавляющее большинство  игроков избавляются от рук, не раздумывая. Мы очень надеемся, что Вы хорошо усвоили вышеизложенный материал и теперь кроме розыгрыша дро в целях обороны, сможете вести грамотную атакующую игру. Тут крайне важны понятия фактора «бесплатной карты», агрессивности и folding equity, потому что благодаря им открывается гораздо больше возможностей, в сравнении с обычной игрой с дро.